10.4.2 Knäckning i plan (knäckning kring den styva axeln)

Beräkningarna för ramar kan utföras på två olika sätt, nämligen:

1. Linjär knäckningsanalys.
2. Andra ordningens analys.

Linjär knäckningsanalys
Linjär knäckningsanalys tillämpas på samma sätt som för samtidigt tryckta och böjda konstruktionsdelar. Spänningarna som förorsakas av de yttre lasterna beräknas med hjälp av linjär elasticitetsteori varvid man bedömer jämvikten i det odeformerade statiska systemet. Spänningarna som förorsakas av geometriska imperfektioner i ramens plan och ut ur plan och de uppkomna deformationerna, beaktas så att tryckhållfastheten och böjhållfastheten multipliceras med reduktionsfaktorerna som beaktar knäckning, k_c och k_crit. Här är k_c reduktionsfaktorn för knäckning vid axiella tryckkrafter. För de vanliga höjd-spännviddsförhållandena är den första knäckningsmoden vanligtvis asymmetrisk och har en form som visas i figur 10.7.

När knäcklasten beräknas med hjälp av den förenklade analysen, behövs knäcklängden L_e. Den kan bestämmas antingen med hjälp av a) numerisk analys, till exempel linjär knäckningsanalys som utförs med hjälp av ett datorprogram som utnyttjar finita elementmetoden, eller b) empiriska ekvationer.

Som en första approximation kan knäcklängden antas vara:

10.10    \({L_\rm e} \approx 1,25 \cdot {a_{\rm hf}}\)

där a_hf är den böjda längden av halva ramen, se figur 10.8.

För en mera sofistikerad analys kan följande ekvation i den tyska tränormen, DIN EN 1995-1-1/NA, användas:

10.11    \({L_{\mathop{\rm e}\nolimits} } \approx {h_{\mathop{\rm p}\nolimits} } \cdot \sqrt {4 + \frac{{{I_0}}}{I} \cdot \frac{s}{h} \cdot \left( {{\pi ^2} + \frac{s}{{{h_{\mathop{\rm p}\nolimits} }}}} \right)} \)

Tröghetsmomenten I och I_o beräknas vid avstånden 0,65 · h och 0,65 · s från stödet och nocken, se figur 10.8.

Dimensioneringsvillkoret är:

10.12    \(\frac{{{\sigma _{\rm m,y,d}}}}{{{k_\rm r} \cdot {f_{\rm m,y,d}}}} + \frac{{{\sigma _{\rm c,0,d}}}}{{{k_{\rm c,y}} \cdot {f_{\rm c,0,d}}}} \le 1\)

där k_c,y är reduktionsfaktorn som beaktar knäckning i plan (alltså knäckning kring y-axeln, se figur 10.8) och de andra symbolerna som i ekvation 10.7 och i avsnitt Raka balkar och pelare, samt i avsnitt Snedsågade balkar, krökta balkar och bumerangbalkar.

Icke-linjär analys
När belastningen ökar i en tryckt konstruktion ökar också deformationerna, och dessa ger större böjmoment som i sin tur ger större deformationer. Om man fortsätter öka belastningen leder denna process så småningom till att spänningen någonstans i konstruktionen överskrider materialets hållfasthet och därmed att brott uppstår. En geometrisk icke-linjär beräkning tar hänsyn till att moment (orsakat av tillskottsdeformationer) ökar med ökande axiallast. Om den icke-linjära beräkningen även tar hänsyn till strukturens initiella imperfektioner kommer resultatet att ge de ”riktiga” snittkrafterna. Dessa snittkrafter kan användas direkt för dimensioneringen, utan behov av att manipulera dessa med eventuella reduktionsfaktorer för knäckning (det vill säga k-faktorer). Dimensioneringen utförs därmed genom att kontrollera tvärsnittet för samtidig tryck och böjning utan hänsyn till risk för knäckning (det vill säga genom att sätta reduktionsfaktorn för knäckning till k_c = 1,0).

Detta sätt att dimensionera en träkonstruktion är otänkbart utan användning av lämpliga finita elementprogram. Sådana program finns nu på marknaden och hur till exempel de geometriska imperfektionerna bör hanteras beror i viss mån på vad det aktuella programmet erbjuder för modelleringsmöjligheter. Ofta är den lägsta knäckningsmoden en god approximation för formen på den initiella imperfektionen, se figur 10.9. Alternativt kan man använda deformationerna som erhålls ur en linjärelastisk analys med aktuellt lastfall som indata för de initiella imperfektionerna i strukturen. Typiskt värde på imperfektionens maximala amplitud vid beräkning av limträkonstruktioner är cirka L / 400 enligt Eurokod 5 (se figur 5.3 i SS-EN 1995-1-1).

Figur 10.7 En treledsbåges knäckning i plan.

Figur 10.8 Modell av treledsramens knäcklängd i plan.

Maskinhall, Söderköping.

Figur 10.9 Initiella (geometriska) imperfektioner som motsvarar lastfallen i och ii enligt icke-linjär analys.
a) Symmetrisk knäckning,
b) asymmetrisk knäckning eller knäckning med sidoförskjutning.