3.4.2 Ortotropt skal med direkt bestämning av styvhetsmatris

Publicerad 2017-07-07

Baserad på Timoshenkos balkteori med skjuvkorrektionsfaktor enligt avsnitt 3.3.1, kan styvhetsvärdena av skjuvböjbara skalelement bestämmas oberoende av det statiska systemet med tvärsnittsvärden i båda riktningarna, enligt Reissner-Mindlin.

Hållfasthetslära för skalelement av KL-trä
För ortotropa skalelement kan följande styvhetsmatris ställas upp:

${C_\rm {KLT}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{D_{11}}}&{{D_{12}}}&0&0&0&0&0&0\\ {{D_{21}}}&{{D_{22}}}&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&{{D_{33}}}&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&{{D_{44}}}&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&{{D_{55}}}&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&{{D_{66}}}&{{D_{67}}}&0\\ 0&0&0&0&0&{{D_{76}}}&{{D_{77}}}&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&{{D_{88}}} \end{array}} \right]$

där:

[D₁₁ – D₃₃]	beskriver böj- och vridstyvhetsegenskaper (KL-träplatta)
[D₄₄ – D₅₅]	beskriver skjuvstyvhetsegenskaper (KL-träplatta)
[D₆₆ – D₈₈]	beskriver skivstyvhetsegenskaper (KL-träskiva)

Böj- och vridstyvhetsegenskaper (KL-träplatta) räknas ofta i kN/m:

${D_{11}} = \frac{{{E_\rm {0,mean}} \cdot {I_{\rm x,{\rm{net}}}}}}{{1 - {\nu _{{\rm{xy}}}} \cdot {\nu _{{\rm{yx}}}}}}\quad \rm med\quad {\nu _{{\rm{xy}}}} = {\nu _{{\rm{yx}}}} = 0$

blir ekvationen:

3.90

${D_{11}} = {E_\rm {0,mean}} \cdot {I_{\rm x,{\rm{net}}}}$

${D_{22}} = \frac{{{E_\rm {0,mean}} \cdot {I_{\rm y,{\rm{net}}}}}}{{1 - {\nu _{{\rm{xy}}}} \cdot {\nu _{{\rm{yx}}}}}}\quad \rm med\quad {\nu _{{\rm{xy}}}} = {\nu _{{\rm{yx}}}} = 0$

blir ekvationen:

3.91

${D_{22}} = {E_\rm {0,mean}} \cdot {I_{\rm y,{\rm{net}}}}$

${D_{33}} = {k_{{\rm{vrid}}}} \cdot {G_\rm {0,mean}}\frac{{b \cdot t_{{\mathop{\rm KLT}\nolimits} }^3}}{{12}}\quad {\rm med}\quad {k_{{\rm{vrid}}}} = 0,65\quad {\rm och}\quad b{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}{\mathop{\rm \,m}\nolimits}$

blir ekvationen:

3.92

${D_{33}} = 0,65 \cdot {G_\rm {0,mean}}\frac{{t_{{\mathop{\rm KLT}\nolimits} }^3}}{{12}} \cdot 1\;$

${D_{12}} = {D_{21}} = \sqrt {{\nu _{{\rm{xy}}}} \cdot {\nu _{{\rm{yx}}}} \cdot {D_{11}} \cdot {D_{22}}} \quad \rm med\quad {\nu _{{\rm{xy}}}} = {\nu _{{\rm{yx}}}} = 0$

blir ekvationen:

3.93

${D_{12}} = {D_{21}} = 0$

Observera:

${k_{{\rm{vrid}}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0,65{\rm{\;\;för\;KL{\text -}trä\;med\;spalter\;eller\;sprickor.}}}\\ {0,8{\rm{\;\;\;\;för\;KL{\text -}trä\;utan\;spalter\;eller\;sprickor.}}} \end{array}} \right.$

Skjuvstyvhetsegenskaper (KL-träplatta) räknas ofta i kN/m:

3.94

${D_{44}} = {\kappa _\rm x} \cdot {G_\rm {0,mean}} \cdot {A_\rm {x,net}}$

3.95

${D_{55}} = {\kappa _\rm y} \cdot {G_\rm {0,mean}} \cdot {A_\rm {y,net}}$

För beräkning och värden på skjuvkorrektionsfaktorerna κ_x och κ_y, se avsnitt 3.3.

Skivstyvhetsegenskaper (KL-träskiva) räknas ofta i kN/m:

3.96

${D_{66}} = {E_\rm {0,mean}} \cdot {A_\rm {x,{\rm{net}}}}$

3.97

${D_{77}} = {E_\rm {0,mean}} \cdot {A_\rm {y,{\rm{net}}}}$

3.98

${D_{88}} = {G_{{\mathop{\rm S}\nolimits} ,\rm mean}} \cdot {A_\rm {x,{\rm{brutto}}}} = 0,75 \cdot {G_\rm {0,mean}} \cdot {A_\rm {x,{\rm{brutto}}}}$

G_S,mean är skjuvmodulen för hela KL-träelementets tvärsnitt, enligt Silly, 2010

${D_{67}} = \nu \cdot {D_{66}}$

och representerar effekten av tvärs utvidgning över längsgående normalkraft, vanligtvis antas ν = 0 och därmed D₆₇ = 0 och på samma sätt D₇₆ = 0.

Verifiering av materialets hållfasthet
Relationen mellan krafter och förskjutningar definieras i matrisform enligt ekvation 3.99 och används med fördel i FEM-beräkningsprogram:

3.99

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{m_x}}\\ {{m_y}} \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m_{{\mathop{\rm xy}\nolimits} }}}\\ {{n_{{\mathop{\rm xz}\nolimits} }}} \end{array}} \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_{{\mathop{\rm yz}\nolimits} }}}\\ {{n_{\mathop{\rm x}\nolimits} }} \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_{\mathop{\rm y}\nolimits} }}\\ {{n_{{\mathop{\rm xy}\nolimits} }}} \end{array}} \end{array}} \end{array}} \right\} = {C_{{\mathop{\rm KLT}\nolimits} }} \cdot \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{K_{\rm{x}}} = \frac{{\partial {\phi _{\mathop{\rm y}\nolimits} }}}{{\partial x}}}\\ {{K_{\rm{y}}} = - \frac{{\partial {\phi _{\mathop{\rm x}\nolimits} }}}{{\partial y}}} \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {{K_{{\rm{xy}}}} = \frac{{\partial {\phi _{\mathop{\rm y}\nolimits} }}}{{\partial y}} - \frac{{\partial {\phi _{\mathop{\rm x}\nolimits} }}}{{\partial x}}}\\ {{\gamma _{{\mathop{\rm xz}\nolimits} }} = \frac{{\partial {u_{\mathop{\rm z}\nolimits} }}}{{\partial x}} + {\phi _y}} \end{array}} \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{\gamma _{{\mathop{\rm yz}\nolimits} }} = \frac{{\partial {u_{\mathop{\rm z}\nolimits} }}}{{\partial y}} - {\phi _x}}\\ {{\varepsilon _{\mathop{\rm x}\nolimits} } = \frac{{\partial {u_{\mathop{\rm x}\nolimits} }}}{{\partial x}}} \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varepsilon _{\mathop{\rm y}\nolimits} } = \frac{{\partial {u_{\mathop{\rm y}\nolimits} }}}{{\partial y}}}\\ {{\gamma _{{\mathop{\rm xy}\nolimits} }} = \frac{{\partial {u_{\mathop{\rm x}\nolimits} }}}{{\partial y}} - \frac{{\partial {u_{\mathop{\rm y}\nolimits} }}}{{\partial x}}} \end{array}} \end{array}} \end{array}} \right\}$

φ och u representerar rotation respektive förskjutning av elementytans tyngdpunktscentrum i riktningar enligt figur 3.28.

Utifrån ekvation 3.99 erhålls både krafter och deformationer och utifrån detta kan spänningar i materialet beräknas.

Montage av Portvakten, Växjö.

Böjmoment kring x-axeln och y-axeln

${m_{{\mathop{\rm x}\nolimits} ,\rm E,d}} \le {m_\rm {x,R,d}}$

m_x,E,d	är dimensionerande böjmoment i kNm/m.
m_x,R,d	är dimensionerande bärförmåga för böjmoment i kNm/m och beräknas:

${m_\rm {x,R,d}} = {W_\rm {x,{\rm{net}}}} \cdot {f_\rm {m,xlay,d}}$

${m_\rm {y,E,d}} \le {m_\rm {y,R,d}}$

m_y,E,d	är dimensionerande böjmoment i kNm/m.
m_y,R,d	är dimensionerande bärförmåga för böjmoment i kNm/m och beräknas:

${m_\rm {y,R,d}} = {W_\rm {y,{\rm{net}}}} \cdot {f_\rm {m,ylay,d}}$

Tvärkraft i xz-planet och yz-planet

${n_{{\mathop{\rm xz}\nolimits} ,\rm E,d}} \le {n_\rm {xz,R,d}}$

n_xz,E,d	är dimensionerande tvärkraft i kN/m.
n_xz,R,d	är dimensionerande bärförmåga för tvärkraft i kN/m och beräknas:

${n_\rm {xz,R,d}} = \frac{{{I_\rm {x,{\rm{net}}}} \cdot {\rm{1\,m}}}}{{{S_{{\rm{R}},x,{\rm{net}}}}}}{f_\rm {v,9090,ylay,d}}$

${n_{{\mathop{\rm yz}\nolimits} ,\rm E,d}} \le {n_\rm {yz,R,d}}$

n_yz,E,d	är dimensionerande tvärkraft i kN/m.
n_yz,R,d	är dimensionerande bärförmåga för tvärkraft i kN/m och beräknas:

${n_\rm {yz,R,d}} = \frac{{{I_{y,{\rm{net}}}} \cdot {\rm{1\,m}}}}{{{S_{{\rm{R}},\rm y,{\rm{net}}}}}}{f_\rm {v,9090,xlay,d}}$

Vridmoment i xy-planet eller yx-planet

${m_\rm {xy,E,d}} \le {m_\rm {xy,R,d}}$

m_xy,E,d	är dimensionerande vridmoment i kNm/m.
m_xy,R,d	är dimensionerande bärförmåga för vridmoment i kNm/m och beräknas:

${m_\rm {xy,R,d}} = {W_\rm {tor,x,{\rm{KLT}}}} \cdot {f_\rm {tor,d}}$

Observera: m_xy = m_yx om b_x = b_y

Normalkraft i x-riktning och y-riktning

${n_{{\mathop{\rm x}\nolimits} ,\rm E,d}} \le {n_\rm {x,R,d}}$

n_x,E,d	är dimensionerande normalkraft i kN/m.
n_x,R,d	är dimensionerande bärförmåga för normalkraft i kN/m och beräknas:

${n_\rm {x,R,d}} = {A_{\rm x,{\rm{net}}}} \cdot {f_\rm {t,xlay,d}}$

för dragspänning och

${n_\rm {x,R,d}} = {A_{\rm x,{\rm{net}}}} \cdot {f_\rm {c,xlay,d}}$

för tryckspänning.

${n_{{\mathop{\rm y}\nolimits} ,\rm E,d}} \le {n_{{\mathop{\rm y}\nolimits} ,\rm R,d}}$

n_y,E,d	är dimensionerande normalkraft i kN/m.
n_y,R,d	är dimensionerande bärförmåga för normalkraft i kN/m och beräknas:

${n_\rm {y,R,d}} = {A_{\rm y,{\rm{net}}}} \cdot {f_\rm {t,ylay,d}}$

för dragspänning och

${n_\rm {y,R,d}} = {A_{\rm y,{\rm{net}}}} \cdot {f_\rm {c,ylay,d}}$

för tryckspänning.

Tvärkraft i xy-planet eller yx-planet

${n_{{\mathop{\rm xy}\nolimits} ,\rm E,d}} \le {n_\rm {xy,R,d}}$

n_xy,E,d	är dimensionerande tvärkraft i KL-träskivans plan i kN/m.
n_xy,R,d	är dimensionerande bärförmåga för tvärkraft i kN/m.

${n_\rm {xy}} = {n_\rm {yx}}$

Figur 3.28 Definition av huvudaxlar och huvudriktningar.

3.4.2 Ortotropt skal med direkt bestämning av styvhetsmatris

TräGuiden är den digitala handboken för trä och träbyggande och innehåller information om materialet trä samt instruktioner för byggande med trä.

Prenumerera på TräGuidens nyhetsbrev!