Bruksgränskontroll av bjälklag med limträelement - vibration

Publicerad 2017-07-05

Ett träbjälklag i ett flervåningsbostadshus tillverkas med skivor av OSB/3 som övre fläns och med limträbalkar GL28cs som liv och undre flänsar. OSB-skivan har en tjocklek av 25 mm och är orienterad med sin huvudspånriktning parallellt med limträbalkarna i detta exempel. Livet har dimensionerna 42 × 315 mm samt en underfläns med dimensionerna 225 × 42 mm. Balkarna placeras med centrumavstånd 0,6 m.

Bjälklagssystemet kan antas uppvisa full samverkan. Bjälklaget har en längd av 5,5 m (i livens riktning) och en bredd av 8,0 m. Bjälklaget är fritt upplagt.

Massan av bjälklaget är 45 kg/m2.

Utför en dimensioneringskontroll för att bekräfta att bjälklagets vibrationsbeteende kommer att vara acceptabelt, se Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Avsnitt 9.4 eller Eurokod 5: Avsnitt 7.3.

Figur

Figur 1

Transformera först tvärsnittet till ett fiktivt tvärsnitt bestående av limträ, GL28cs.

OSB-skivans effektiva bredd beff kan sättas till 0,15 enligt Dimensionering av träkonstruktioner Del 1: Tabell 5.1 eller Eurokod 5: Tabell 9.1. Då  = 5,5 m, blir beff = 0,825 m, vilket är större än 0,6 m. Detta innebär att hela bredden av OSB-flänsen kan utnyttjas i beräkningen av tröghetsmomentet I.

Elasticitetsmodul för GL28cs: E0,mean = 12 500 MPa

Elasticitetsmodul för OSB: Em = 4 930 MPa

Den fiktiva bredden för flänsen erhålls ur:

\({b_{{\rm f_u},\rm fic}} = \frac{{{E_\rm m}}}{{{E_{\rm 0,mean}}}}{b_\rm u} = \frac{{4930}}{{12500}} \cdot 600 = 237\,{\rm{ mm}}\)

Tvärsnittsarean:

\({A_\rm c} = b{}_{{\rm f_l}} \cdot {h_\ell } + b_\rm w \cdot {h_\rm w} + b_{\rm fu,fic} \cdot {h_\rm u} = 225 \cdot 42 + 42 \cdot 315 + 237 \cdot 25 = 28596\,{\rm{ m}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\)

Tyngdpunkten (från den undre kanten):

\(\begin{array}{l} {x_{\rm tp}} = \frac{{b{}_{{\rm f_l}} \cdot {h_\ell } \cdot \frac{{{h_\ell }}}{2} + b_\rm w \cdot {h_\rm w} \cdot \left( {{h_\ell } + \frac{{{h_\rm w}}}{2}} \right) + b_{\rm fu,fic} \cdot {h_\rm u} \cdot \left( {{h_\ell } + {h_\rm w} + \frac{{{h_\rm u}}}{2}} \right)}}{{{A_c}}} = \\ \frac{{225 \cdot 42 \cdot \frac{{42}}{2} + 42 \cdot 315 \cdot \left( {42 + \frac{{315}}{2}} \right) + 237 \cdot 25 \cdot \left( {42 + 315 + \frac{{25}}{2}} \right)}}{{28596}} = 176\,{\rm{ mm}} \end{array}\)

Tröghetsmomentet för undre flänsen:

\(\begin{array}{l} {I_{{\rm f_l}}} = \frac{{{b_{{\rm f_l}}}{h_\ell }^3}}{{12}} + {b_{{\rm f_l}}}{h_\ell } \cdot {\left[ {{x_{\rm tp}} - \left( {\frac{{{h_{{\rm f_l}}}}}{2}} \right)} \right]^2} = \\ \frac{{0,225 \cdot {{0,042}^3}}}{{12}} + 0,225 \cdot 0,042 \cdot {\left[ {0,176 - \left( {\frac{{0,042}}{2}} \right)} \right]^2} = 227 \cdot {10^{ - 6}}\,{\rm{ }}{{\rm{m}}^{\rm{4}}} \end{array}\)

Tröghetsmomentet för övre flänsen:

\(\begin{array}{l} {I_{{f_\rm u}}} = \frac{{{b_{{\rm f_u}}}{h_\rm u}^3}}{{12}} + {b_{{\rm f_u}}}{h_\rm u} \cdot {\left[ {{x_{\rm tp}} - \left( {{h_{{\rm f_l}}} + {h_\rm w} + \frac{{{h_{{\rm f_u}}}}}{2}} \right)} \right]^2} = \\ \frac{{0,237 \cdot {{0,025}^3}}}{{12}} + 0,237 \cdot 0,025 \cdot {\left[ {0,176 - \left( {0,042 + 0,315 + \frac{{0,025}}{2}} \right)} \right]^2} = 222 \cdot {10^{ - 6}}\,{\rm{ }}{{\rm{m}}^{\rm{4}}} \end{array}\)

Tröghetsmomentet för livet:

\(\begin{array}{l} {I_\rm w} = \frac{{{b_\rm w}{h_\rm w}^3}}{{12}} + {b_\rm w}{h_\rm w} \cdot {\left[ {{x_{\rm tp}} - \left( {{h_{{\rm f_l}}} + \frac{{{h_\rm w}}}{2}} \right)} \right]^2} = \\ \frac{{0,042 \cdot {{0,315}^3}}}{{12}} + 0,042 \cdot 0,315 \cdot {\left[ { - 0,176 + 0,042 + \frac{{0,315}}{2}} \right]^2} = 117 \cdot {10^{ - 6}}\,{\rm{ }}{{\rm{m}}^{\rm{4}}} \end{array}\)

Tröghetsmomentet:

\(I = I_{{\rm f_l}} + I_{{\rm f_u}} + {I_\rm w} = 227 \cdot {10^{ - 6}} + 222 \cdot {10^{ - 6}} + 117 \cdot {10^{ - 6}} = 566 \cdot {10^{ - 6}}\,{\rm{ }}{{\rm{m}}^4}\)

Tröghetsmomentet för golvbeläggningen/meter bredd:

\({I_\rm f} = \frac{{{b_\rm t}{h_{{\rm f_u}}}^3}}{{12}} = \frac{{1 \cdot {{0,025}^3}}}{{12}} = {\rm{1,3}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{{\rm{ - 6}}}}{\rm{ }}\,{{\rm{m}}^{\rm{4}}}\)

Bjälklagsstommens bredd, B = 8 m

Massan av bjälklaget (kg/m2), m = 45 kg/m2

a. Kontrollera bjälklagets lägsta egenfrekvens:

\({f_1} = \frac{\pi }{{2{\ell ^2}}}\sqrt {\frac{{{{\left( {EI} \right)}_\ell }}}{m}} \)

\({f_1} = \frac{\pi }{{2 \cdot {{5,5}^2}}}\sqrt {\frac{{{{\left( {\frac{{12500 \cdot 10{}^6 \cdot 566 \cdot {{10}^{ - 6}}}}{{0,6}}} \right)}_{}}}}{{45}}} = 26,6\)

Den lägsta egenfrekvensen för bjälklaget är acceptabel, då den är högre än 8 Hz och ekvationerna som återfinns i Dimensionering av träkonstruktioner Del 1: Avsnitt 7.3.3.1 kan användas för en vibrationskontroll.

b. Kontrollera bjälklagets statiska nedböjning:

Största tillåtna nedböjning är a = 1,5 mm, för en punktlast av 1 kN.

\(w = \frac{{P{{\ell }^3}}}{{48EI}}\)

Kontrollera en enskild balk:

P = 1 000 N

\(w = \frac{{1000 \cdot {{5,5}^3}}}{{48 \cdot 12,5 \cdot {{10}^9} \cdot 566 \cdot {{10}^{ - 6}}}}\,\; \cdot \;1000 = 0,5\,{\rm{ mm}}\)

Bjälklagets nedböjning är mindre än det tillåtna värdet.

Det följande bör också gälla:

\(v \le {b^{\left( {{f_1}\zeta - 1} \right)}}\)

där v är hastighetsresponsen på enhetsimpuls (m / (Ns2). ζ är den relativa dämpningen, vilken normalt kan sättas till 0,01. Konstanten b för kontroll av hastighetsresponsen på enhetsimpuls kan sättas till 100 (se Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Avsnitt 9.4):

\(v \le {b^{\left( {{f_1}\zeta - 1} \right)}} = {100^{\left( {26,6 \cdot 0,01 - 1} \right)}} = 0,034\)

Hastighetsresponsen på enhetsimpuls erhålls genom:

\(v = \frac{{4\left( {0,4 + 0,6{n_{40}}} \right)}}{{mB{\ell } + 200}}\)

där n40 är antalet moder av första ordningen, med egenfrekvenser upp till 40 Hz och B är bjälklagsbredden. Värdet av n40 kan beräknas ur:

\({n_{40}} = {\left\{ {\left( {{{\left( {\frac{{40}}{{{f_1}}}} \right)}^2} - 1} \right){{\left( {\frac{B}{{\ell }}} \right)}^4}\frac{{\left( {EI} \right){}_\ell }}{{{{\left( {EI} \right)}_{\mathop{\rm B}\nolimits} }}}} \right\}^{0,25}}\)

\({n_{40}} = {\left\{ {\left( {{{\left( {\frac{{40}}{{26,6}}} \right)}^2} - 1} \right){{\left( {\frac{{8000}}{{5500}}} \right)}^4}\frac{{\left( {\frac{{12500 \cdot 566}}{{0,6}}} \right)}}{{\left( {4930 \cdot 1,3} \right)}}} \right\}^{0,25}} = 10,1\)

Hastighetsresponsen på enhetsimpuls blir då:

\(v = \frac{{4\left( {0,4 + 0,6 \cdot 10,1} \right)}}{{45 \cdot 8 \cdot 5,5 + 200}} = 0,012\)

Då hastighetsresponsen på enhetsimpuls för bjälklaget är lägre än det tillåtna värdet, är det acceptabelt. Bjälklaget uppfyller vibrationskraven i Eurokod 5.

Om TräGuiden

TräGuiden tillhandahåller information om trä och träbyggande. Webbsidan drivs av Svenskt Trä, en del av Skogsindustrierna, och utgör med sina nära en miljon besökare per år ett viktigt informationsnav för byggande i Sverige.

TräGuiden beskriver tekniska lösningar för träbyggande samt innehåller information om trämaterialets egenskaper. TräGuidens innehåll av illustrationer och konstruktionslösningar kan fritt skrivas ut eller delas med andra.

Det finns också nedladdningsbara ritningar i CAD-format på TräGuiden.

Klicka här för sajtkarta

Stäng sajtkarta

Prenumerera på TräGuidens
populära nyhetsbrev

Vi värnar om personlig integritet vilket innebär att dina personuppgifter alltid hanteras på ett ansvarsfullt sätt. Genom att klicka på skicka lämnar du ditt samtycke.
Läs vår integritetspolicy.

På din mobil fungerar TräGuiden bäst i stående läge.Ok

Hantera dina pins

Hantera pins fungerar bäst om du inte är i privat/inkognitoläge. OBS! Dina pins sparas i datorns lokala minne.
Åtgärder som innebär raderande av kakor på datorn kan ofta även medföra att det lokala minnet rensas med följden att dina sparade pins försvinner.

Du har inga sparade pins

Hantera pins fungerar bäst om du inte är i privat/inkognitoläge. OBS! Dina pins sparas i datorns lokala minne.
Åtgärder som innebär raderande av kakor på datorn kan ofta även medföra att det lokala minnet rensas med följden att dina sparade pins försvinner.

pin

Du vet väl att du kan spara sidor till senare. Samla här pins för de sidor du besöker ofta och enkelt vill kunna återkomma till.

  • Lägg till
  • Du har redan lagt till den här sidan.

Skicka pins

Ett enkelt sätt att spara dina pins är att maila dem

Du har nu skickat dina pins!

Något gick fel. Kontrollera e-postadressen och prova igen.

Dela sidan