3.3.4 Effektiva tvärsnittsvärden

I Eurokod 5, bilaga B finns en metod beskriven, Gamma-metoden, där bidraget till deformationer från tvärkrafter betraktas på ett förenklat sätt. Vid ren böjning beräknas böjstyvheten med nettotvärsnittet och tecknas EI_net. I Gamma-metoden införs istället ett effektivt tröghetsmoment, I_ef, i beräkningen.

Formlerna för Gamma-metoden i Eurokod 5 kan användas för tvärsnitt med 3- och 5-skiktsskivor. Teorin i båda fallen har som utgångspunkt att det andra längsgående skiktet från ovansidan fastställs som bas. De intilliggande skikten är flexibelt kopplade till basskiktet och respektive skikts ”Steinerdel” minskas med ett Gamma-värde som beror på spännvidden och de tvärgående skikten. För tvärsnitt med två längsgående skikt, resulterar de associerade formlerna i asymmetriska delresultat. Metoden implementeras enkelt för 3- och 5-skiktsskivor men kräver fördjupade beräkningar för 7-skikt eller fler skikt.

• för en fritt upplagd balk med enkel spännvidd, $l$_ref = L.
• för en fritt upplagd kontinuerlig balk med minst två spann, $l$_ref = 0,8 · L (L är den specifika spännvidden som betraktas).
• för en konsolbalk med utkragande längd, $l$_ref = 2 · L (L är konsolens längd).

3-skiktsskiva av KL-trä

KL-träskivan kan vara uppbyggd med skikt av olika tjocklek och hållfasthetsklasser, se figur 3.9.

Vid beräkning av tvärsnittsstorheter kan följande arbetsgång och ekvationerna 3.32 – 3.35 användas.

• Varje skikt numreras från 1 till n nerifrån och upp.
• Beräkna Gamma-värden. Enbart γ₃ för de längsgående skikten, det vill säga skikt 1 och skikt 3, behöver beräknas. Det tvärgående skiktet räknas inte med:
  
  3.32  ${\gamma _1} = 1$
  
  3.33  ${\gamma _3} = \frac{1}{{1 + \frac{{{\pi ^2}{E_{{\rm{x}},3}}{t_3}}}{{l_{{\rm{ref}}}^2}} \cdot \;\frac{{{t_2}}}{{{G_{9090,2}}}}}}$
• Beräkna avstånden a: a₁, a₃. Enbart a₁ och a₃ för längsgående skikt 1 och 3 behöver beräknas. Det tvärgående skiktet räknas inte med:
  
  ${\rm a_1} = \frac{{{\gamma _3}\frac{{{E_{{\rm{x}},3}}}}{{{E_{{\rm{ref}}}}}}b{t_3}\left( {\frac{{{t_1}}}{2} + {t_2} + \frac{{{t_3}}}{2}} \right)}}{{{\gamma _1}\frac{{{E_{{\rm{x}},1}}}}{{{E_{{\rm{ref}}}}}}b{t_1} + {\gamma _3}\frac{{{E_{{\rm{x}},3}}}}{{{E_{{\rm{ref}}}}}}b{t_3}}}$
  
  för symmetriska tvärsnitt och brädor av samma hållfasthetsklass:
  
  ${\rm a_1} = = \frac{{{t_1}}}{2} + \frac{{{t_2}}}{2}$
  
  ${\rm a_3} = \frac{{{t_1}}}{2} + {t_2} + \frac{{{t_3}}}{2} - {rm a_1}$
  
  för symmetriska tvärsnitt och brädor av samma hållfasthetsklass:
  
  ${\rm a_1} = \frac{{{t_2}}}{2} + \frac{{{t_3}}}{2}$
• Beräkna det effektiva tröghetsmomentet enligt följande:
  
  3.34  ${I_{{\rm{x}},{\rm{ef}}}} = \mathop \sum \nolimits^ \frac{{{E_{{\rm{x}},{\rm{i}}}}}}{{{E_{{\rm{ref}}}}}}\frac{{{b_{\mathop{\rm x}\nolimits} }t_{\rm{i}}^3}}{{12}} + {\gamma _i}\frac{{{E_{{\rm{x}},{\rm{i}}}}}}{{{E_{{\rm{ref}}}}}}{b_{\mathop{\rm x}\nolimits} }{t_{\rm{i}}}{\rm a_{\rm{i}}}^2 = \\ = \frac{{{E_{{\rm{x}},1}}}}{{{E_{{\rm{ref}}}}}} \cdot \frac{{{b_{\mathop{\rm x}\nolimits} }t_1^3}}{{12}} + {\gamma _1}\frac{{{E_{{\rm{x}},1}}}}{{{E_{{\rm{ref}}}}}}{b_{\mathop{\rm x}\nolimits} }{t_1}{\rm a_1}^2 + \frac{{{E_{{\rm{x}},3}}}}{{{E_{{\rm{ref}}}}}} \cdot \frac{{{b_{\mathop{\rm x}\nolimits} }t_3^3}}{{12}} + {\gamma _3}\frac{{{E_{{\rm{x}},3}}}}{{{E_{{\rm{ref}}}}}}{b_{\mathop{\rm x}\nolimits} }{t_3}{\rm a_3}^2$

För symmetriskt tvärsnitt (t₁ = t₃) och samma hållfasthetsklass fås:

5-skiktsskiva av KL-trä

KL-träskivor kan vara uppbyggda med skikt av olika tjocklek och hållfasthetsklasser, se figur 3.10.

• Varje skikt numreras från 1 till n nerifrån och upp.
• Beräkna Gamma-värden. Enbart γ_i för de längsgående skikten, det vill säga skikt 1, skikt 3 och skikt 5 behöver beräknas. De tvärgående skikten räknas inte med och Gamma-värdet beräknas enligt ekvationerna 3.36 – 3.38:
  
  3.36  ${\gamma _1} = \frac{1}{{1 + \frac{{{\pi ^2}{E_{{\rm{x}},1}}{t_1}}}{{l_{{\rm{ref}}}^2}}\;\frac{{{t_2}}}{{{G_{9090,2}}}}}}$
  
  3.37  ${\gamma _3} = 1$
  
  3.38  ${\gamma _5} = \frac{1}{{1 + \frac{{{\pi ^2}{E_{{\rm{x}},5}}{t_5}}}{{l_{{\rm{ref}}}^2}}\;\frac{{{t_4}}}{{{G_{9090,4}}}}}}$
  
  För symmetriska tvärsnitt (t₁ = t₃ = t₅) och samma hållfasthetsklass sätts γ₁ = γ₅.
• Beräkna avstånden a_i. Enbart a₁, a₃ och a₅ för längsgående skiktet 1, 3 och 5 behöver beräknas:
  
  ${\rm a_3} = \frac{{{\gamma _1}\frac{{{E_{{\rm{x}},1}}}}{{{E_{{\rm{ref}}}}}}b{t_1}\left( {\frac{{{t_1}}}{2} + {t_2} + \frac{{{t_3}}}{2}} \right) - {\gamma _5}\frac{{{E_{{\rm{x}},5}}}}{{{E_{{\rm{ref}}}}}}b{t_5}\left( {\frac{{{t_3}}}{2} + {t_4} + \frac{{{t_5}}}{2}} \right)}}{{{\gamma _1}\frac{{{E_{{\rm{x}},1}}}}{{{E_{{\rm{ref}}}}}}b{t_1} + {\gamma _3}\frac{{{E_{{\rm{x}},3}}}}{{{E_{{\rm{ref}}}}}}b{t_3} + {\gamma _3}\frac{{{E_{{\rm{x}},5}}}}{{{E_{{\rm{ref}}}}}}b{t_5}}}$
  
  För symmetriskt (t₁ = t₃ = t₅) och samma kvalitet sätts a₃ = 0.
  
  ${\rm a_1} = \frac{{{t_1}}}{2} + {t_2} + \frac{{{t_3}}}{2} - {\rm a_3}$
  
  ${\rm a_5} = \frac{{{t_3}}}{2} + {t_4} + \frac{{{t_5}}}{2} + {\rm a_3}$
• Beräkna det effektiva tröghetsmomentet enligt ekvationerna 3.39 och 3.40:
  
  3.39  ${I_{{\rm{x}},{\rm{ef}}}} = \mathop \sum \nolimits^ \frac{{{E_{{\rm{x}},{\rm{i}}}}}}{{{E_{{\rm{ref}}}}}} \cdot \frac{{{b_{\mathop{\rm x}\nolimits} }t_{\rm{i}}^3}}{{12}} + {\gamma _{\rm{i}}}\frac{{{E_{{\rm{x}},{\rm{i}}}}}}{{{E_{{\rm{ref}}}}}}{b_{\mathop{\rm x}\nolimits} }{t_{\rm{i}}}{\rm a_{\rm{i}}}^2$
  
  $= \frac{{{E_{{\rm{x}},1}}}}{{{E_{{\rm{ref}}}}}} \cdot \frac{{{b_{\mathop{\rm x}\nolimits} }t_1^3}}{{12}} + {\gamma _1}\frac{{{E_{{\rm{x}},1}}}}{{{E_{{\rm{ref}}}}}}{b_x}{t_1}{\rm a_1}^2 + \frac{{{E_{{\rm{x}},3}}}}{{{E_{{\rm{ref}}}}}} \cdot \frac{{{b_{\mathop{\rm x}\nolimits} }t_3^3}}{{12}} + {\gamma _3}\frac{{{E_{{\rm{x}},3}}}}{{{E_{{\rm{ref}}}}}}{b_x}{t_3}{\rm a_3}^2 + \frac{{{E_{{\rm{x}},5}}}}{{{E_{{\rm{ref}}}}}} \cdot \frac{{{b_{\mathop{\rm x}\nolimits} }t_5^3}}{{12}} + {\gamma _5}\frac{{{E_{{\rm{x}},1}}}}{{{E_{{\rm{ref}}}}}}{b_x}{t_5}{\rm a_5}^2$
  
  För symmetriskt tvärsnitt (t₁ = t₃ = t₅) och samma kvalitet:
  
  3.40  ${I_{{\rm{x}},{\rm{ef}}}} = \frac{{{b_{\mathop{\rm x}\nolimits} }t_1^3}}{{12}} + {\gamma _1}{b_{\mathop{\rm x}\nolimits} }{t_1}{\rm a_1}^2 + \frac{{{b_x}t_3^3}}{{12}} + \frac{{{b_x}t_5^3}}{{12}} + {\gamma _5}{b_{\mathop{\rm x}\nolimits} }{t_5}{\rm a_5}^2 = {b_{\mathop{\rm x}\nolimits} }\left( {\frac{{3 \cdot t_1^3}}{{12}} + 2{\gamma _1}{t_1}{\rm a_1}^2} \right)$

Effektiv tröghetsradie

Figur 3.9 Definition av skikt och riktningar.

Figur 3.10 Beteckningar för en 5-skiktskiva av KL-trä.

Figur 3.11 Definition av mått och numrering för tvärsnitt av 3-skiktsskiva av KL-trä vid böjning kring y-axeln.

Figur 3.12 Definition av mått och numrering för tvärsnitt av 5-skiktsskiva av KL-trä vid böjning kring y-axeln.