Svenskt Trä Logo

6.8.2 Balk över öppning, upplagd på pelarstöd

Publicerad 2017-07-07

Med minskande spännvidd/höjdförhållande gäller inte längre linjär spänningsfördelning enligt balkteorin. För väggbalkar med ungefär \(l\) / h ≤ 4 blir icke-linjärt beteende märkbart och det måste beaktas vid \(l\) / h ≤ 2. Kantspänningar vid beräkning enligt platteori beror på lasten vid skivans övre och nedre del och på \(l\) / h-förhållandet.

Vid kontinuerliga system påverkar skjuvdeformationen de inre krafterna. Moment vid upplag minskar och moment i fältmitt ökar. Därför rekommenderas att moment och böjspänningar samt böjdeformationer bestäms utifrån en fritt upplagd balk i det längsta spannet. Upplagskrafter och tvärkrafter kan bestämmas utifrån en kontinuerlig balk.

Förutsättningar:

En vertikalt och horisontellt belastad väggskiva, med två spann med längderna \(l\)1 = 4,5 m och \(l\)2 = 6,5 m och höjden h = 3 m, se figur 6.23.

Laster:

  • Egentyngd från tak ovanför väggen är gk = 4,0 kN/m och från vägg och bjälklag i nederkant är gk = 7,7 kN/m.
  • Nyttig last som belastar i nederkant är nk = 6,0 kN/m.
  • Snölast som belastar i ovankant är sk = 3,5 kN/m.
  • Laster och lastfaktorer enligt tabell 6.10.

Väggen består av en 5-skiktsskiva av KL-trä, med tjockleken 30+20+30+20+30 = 130 mm och med samtliga skikt av brädor i hållfasthetsklass C24. Klimatklass 1, säkerhetsklass 3 (γd = 1).

För KL-trä med enbart brädor i hållfasthetsklass C24 gäller enligt tabell 3.7:

E0,x,0,05 = 7 400 MPa
E0,x,mean = 11 000 MPa
G9090,xlay,mean = 50 MPa
G090,xlay,mean = 690 MPa

Enligt tabell 3.6 gäller:

fm,k = 24 MPa
fc,0,k = 21 MPa
fv,k = 4 MPa

Med γM = 1,25 enligt tabell 3.2 och kmod = 0,8 enligt tabell 3.3 (nyttig last huvudlast = medellång) blir dimensionerande hållfastheter:

\({f_{{\rm{m}},{\rm{d}}}} = \frac{{{k_{{\rm{mod}}}} \cdot {f_{{\rm{m}},{\rm{k}}}}}}{{{\gamma _{\rm{M}}}}} = \frac{{0,8 \cdot 24}}{{1,25}} = 15,36\;{\rm{MPa}}\)

\({f_{{\rm{c}},0,{\rm{d}}}} = \frac{{{k_{{\rm{mod}}}} \cdot {f_{{\rm{c}},0,{\rm{k}}}}}}{{{\gamma _{\rm{M}}}}} = \frac{{0,8 \cdot 21}}{{1,25}} = 13,44\;{\rm{MPa}}\)

\({f_{{\rm{v}},{\rm{d}}}} = \frac{{{k_{{\rm{mod}}}} \cdot {f_{{\rm{v}},{\rm{k}}}}}}{{{\gamma _{\rm{M}}}}} = \frac{{0,8 \cdot 4}}{{1,25}} = 2,56\;{\rm{MPa}}\)

Beräkningar:

Dimensionerande lastkombination för vertikal last:

\(\begin{array}{l} {q_{\rm{d}}} = {\gamma _{\rm{G}}} \cdot {g_{\rm{k}}} + {\gamma _{{\rm{Q,n}}}} \cdot {n_{\rm{k}}} + {\gamma _{{\rm{Q,s}}}} \cdot {\Psi _{0,{\rm{s}}}} \cdot {s_{\rm{k}}} = \\ = 0,89 \cdot 1,35 \cdot 11,7 + 1,5 \cdot 6,00 + 1,5 \cdot 0,8 \cdot 3,5 = 27,3\;{\rm{kN/m}} \end{array}\)

Moment

Dimensionerande moment för en enkelspänd balk med längden \(l\)2 = 6,5 m:

\({M_{\rm{d}}} = \frac{{{q_{\rm{d}}} \cdot {l_2}^2}}{8} = \frac{{27,3 \cdot {{6,5}^2}}}{8} = 144,2{\rm{\;kNm}}\)

Tvärsnittet vid böjning beräknas för de horisontella skikten, det vill säga enbart brädskikten i bärriktningen:

\({W_{{\rm{z}},{\rm{net\;}}}} = \;\frac{{{d_\rm z} \cdot {h^2}}}{6} = \frac{{0,04 \cdot {3^2}}}{6} = 0,06\;{{\rm{m}}^3}\)

med dz = totala brädtjockleken för de horisontella skikten:

\({\sigma _{\rm{d}}} = \frac{{{M_{\rm{d}}}}}{{{W_{{\rm{z}},{\rm{net}}}}}} = \frac{{144,2 \cdot {{10}^3}}}{{0,06 \cdot {{10}^6}}} = 2,40{\rm{\;MPa}}<{f_{\rm m,d}} = 15,36\;{\rm{MPa}}\)

Tvärkraft

Dimensionerande tvärkraft:

\({V_{\rm{d}}} = 0,625 \cdot {q_{\rm{d}}} \cdot {l_2} = 0,625 \cdot 27,3 \cdot 6,5 = 110,9\;{\rm{kN}}\)

\({A_{{\rm{z}},{\rm{net\;}}}} = {d_{\mathop{\rm z}\nolimits} } \cdot h = 0,04 \cdot 3 = 0,12\;{{\rm{m}}^2}\)

med dz = totala brädtjockleken för de horisontella skikten:

\({\tau _{\rm{d}}} = 1,5 \cdot \frac{{{V_{\mathop{\rm d}\nolimits} }}}{{{A_{{\rm{z}},{\rm{net}}}}}} = 1,5 \cdot \frac{{110,9 \cdot {{10}^3}}}{{0,12 \cdot {{10}^6}}} = 1,38{\rm{\;MPa}}<{f_{{\mathop{\rm v}\nolimits} ,\rm d}} = 2,56\;{\rm{MPa}}\)

Tryckkraft

Lastspridning från upplag beräknas med vinkeln 30° ut från stödet upp till höjden h / 4.

Upplagsreaktion:

\({M_\rm B} = - \frac{{{q_\rm d}{l_1}^3 + {q_\rm d}{l_2}^3}}{{8\left( {{l_1} + {l_2}} \right)}} = \frac{{27,3 \cdot {{4,5}^3} + 27,3 \cdot {{6,5}^3}}}{{8\left( {4,5 + 6,5} \right)}} = 113\;{\rm{kNm}}\)

\({R_\rm B} = \frac{{{q_\rm d}{l_1}}}{2} + \frac{{{q_\rm d}{l_2}}}{2} - \frac{{{M_\rm B}}}{{{l_1}}} - \frac{{{M_\rm B}}}{{{l_2}}} = \frac{{27,3 \cdot 4,5}}{2} + \frac{{27,3 \cdot 6,5}}{2} - \frac{{113}}{{4,5}} - \frac{{113}}{{6,5}} = 193\;{\rm{kN}}\)

Lastspridning:

\({B_{{\rm{uppl}}}} = 2 \cdot \frac{h}{4} \cdot \tan \left( {30^\circ } \right) = 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot 0,577 = 0,86\;{\rm{m}}\)

Det vill säga att upplagsreaktionen sprids på en bredd av 0,86 m med en kraft av:

\({n_\rm d} = \frac{{{R_\rm B}}}{{{B_\rm {uppl}}}} = \frac{{193}}{{0,86}} = 224\;{\rm{kN/m}}\)

Kontroll av knäckning görs för en strimla av 1,0 m vilket ger kraften:

\({n_{1,{\rm{d}}}} = \frac{{{n_{\rm{d}}}}}{{{B_{{\rm{uppl}}}}}} = \frac{{224}}{{0,86}} = 260\;{\rm{kN/m}}\)

Kontroll av knäckning

Egenskaperna för 5-skiktsskivan blir enligt tabell 6.11.

Knäckning kontrolleras i brottgränstillstånd:

\(\frac{{{\sigma _{{\rm{c}},0,{\rm{d}}}}}}{{{k_{{\rm{c}},{\rm{y}}}} \cdot \;{f_{{\rm{c}},0,{\rm{d}}}}}} \le 1\)

Reduktionsfaktorn kc,y kan skrivas som:

\({k_{{\rm{c}},{\rm{y}}}} = \frac{1}{{{k_{\rm{y}}} + \sqrt {k_{\rm{y}}^2 - \lambda _{{\rm{rel}},{\rm{y}}}^2} }} = \frac{1}{{1,395 + \sqrt {{{1,395}^2} - {{1,30}^2}} }} = 0,526\)

där:

\({k_{\rm{y}}} = 0,5\left( {1 + 0,1\left( {{\lambda _{{\rm{rel}},{\rm{y}}}} - 0,3} \right) + \lambda _{{\rm{rel}},{\rm{y}}}^2} \right) = \\ = 0,5\left( {1 + 0,1\left( {1,30 - 0,3} \right) + {{1,30}^2}} \right) = 1,395\)

där:

\({\lambda _{{\rm{rel}},{\rm{y}}}} = \frac{{{\lambda _{\rm{y}}}}}{\pi }\sqrt {\frac{{\;{f_{{\rm{c}},0,{\rm{k}}}}}}{{{E_{0,05}}}}} = \frac{{76,7}}{\pi }\sqrt {\frac{{21}}{{7400}}} = 1,30\)

\({\sigma _{{\rm{c}},0,{\rm{d}}}} = \frac{{{n_{1,d}}}}{{{A_{{\rm{x}},{\rm{net}}}}}} = \frac{{260 \cdot {{10}^3}}}{{900 \cdot {{10}^2}}} = 2,88{\rm{\;MPa}}\)

\(\frac{{{\sigma _{{\rm{c}},0,{\rm{d}}}}}}{{{k_{{\rm{c}},{\rm{y}}}} \cdot \;{f_{{\rm{c}},0,{\rm{d}}}}}} = \frac{{2,88}}{{0,526 \cdot 13,44}} = 0,41 \le 1\)   OK

Väggen klarar tryckbelastningen, utnyttjandegraden är 41 procent.

Figur 6.23
Figur 6.23 Väggskiva på pelarstöd.

Figur 6.24
Figur 6.24 Lastspridning av stödreaktion.

Tabell 6.10 Laster och lastfaktorer.

Last kN/m2 γg, γQ Lastvaraktighetsklass kmod Ψ0 Ψ1 Ψ2
gk 11,7 0,89 ⋅ 1,35 Permanent (P) 0,6
nk 6,00 1,5 Medellång (M) 0,8 0,7 0,5 0,3
sk 3,50 1,5 Medellång (M) 0,8 0,8 0,6 0,2

 

Tabell 6.11 Egenskaper för 5-skikts symmetrisk skiva av KL-trä, strimla med bredd bx = 1,05 m. Skivtjocklek 130 mm (30/20/30/20/30).

Egenskap Beräkningsformel
Tvärsnittsarean
(mm2)
\({A_\rm {x,net}} = {b_\rm x} \cdot 3 \cdot {t_1}\)
Gammavärden \({\gamma _3} = 1\quad {\gamma _1} = {\gamma _5} = \frac{1}{{1 + \frac{{{\pi ^2}{E_{{\rm{x}},5}}{t_5}}}{{l_{{\rm{ref}}}^2}} \cdot \;\frac{{{t_4}}}{{{G_{9090,4}}}}}}\)
Effektivt böjmotstånd
(mm4)
\(\begin{array}{c} {I_{{\rm{x}},{\rm{ef}}}} = \frac{{{b_x}t_1^3}}{{12}} + {\gamma _1}{b_x}{t_1}{a_1}^2 + \frac{{{b_x}t_3^3}}{{12}} + \frac{{{b_x}t_5^3}}{{12}} + {\gamma _5}{b_x}{t_5}{a_5}^2 = \\ = {b_x} \cdot \left( {\frac{{3 \cdot t_1^3}}{{12}} + 2{\gamma _1}{t_1}{a_1}^2} \right) \end{array}\)
Tröghetsradie
ix,ef
\({i_{{\rm{x}},{\rm{ef}}}} = \sqrt {\frac{{{I_{{\rm{x}},{\rm{ef}}}}}}{{{A_{{\rm{x}},{\rm{net}}}}}}} \)
Slankhetsfaktor
λy
\({\lambda _{\mathop{\rm y}\nolimits} } = \frac{{{l_\rm k}}}{{{i_{{\mathop{\rm x}\nolimits} \rm ,ef}}}}\)
Egenskap Applikation till exempel
Tvärsnittsarean
(mm2)
\({A_\rm {x,net}} = 1000 \cdot 3 \cdot 30 = 900 \cdot {10^2}\;{\rm{m}}{{\rm{m}}^2}\)
Gammavärden \({\gamma _3} = 1\quad {\gamma _1} = {\gamma _5} = \frac{1}{{1 + \frac{{{\pi ^2}11000 \cdot 30}}{{{{3000}^2}}} \cdot \;\frac{{20}}{{50}}}} = 0,874\)
Effektivt böjmotstånd
(mm4)
\(\begin{array}{c} {I_{{\rm{x}},{\rm{ef}}}} = 1000 \cdot \left( {\frac{{3 \cdot {{30}^3}}}{{12}} + 2 \cdot 0,874 \cdot 30 \cdot {{50}^2}} \right) = \\ = 13785 \cdot {10^4}\;{\rm{m}}{{\rm{m}}^4} \end{array}\)
Tröghetsradie
ix,ef
\({i_{{\rm{x}},{\rm{ef}}}} = \sqrt {\frac{{13785 \cdot {{10}^4}}}{{900 \cdot {{10}^2}}}} = 39,1\;{\rm{mm}}\)
Slankhetsfaktor
λy
\({\lambda _{\mathop{\rm y}\nolimits} } = \frac{{3000}}{{39,1}} = 76,7\)

TräGuiden är den digitala handboken för trä och träbyggande och innehåller information om materialet trä samt instruktioner för byggande med trä.

På din mobil fungerar TräGuiden bäst i stående läge.Ok

Hantera dina pins

Hantera pins fungerar bäst om du inte är i privat/inkognitoläge. OBS! Dina pins sparas i datorns lokala minne.
Åtgärder som innebär raderande av kakor på datorn kan ofta även medföra att det lokala minnet rensas med följden att dina sparade pins försvinner.

Du har inga sparade pins

Hantera pins fungerar bäst om du inte är i privat/inkognitoläge. OBS! Dina pins sparas i datorns lokala minne.
Åtgärder som innebär raderande av kakor på datorn kan ofta även medföra att det lokala minnet rensas med följden att dina sparade pins försvinner.

pin

Du vet väl att du kan spara sidor till senare. Samla här pins för de sidor du besöker ofta och enkelt vill kunna återkomma till.

  • Lägg till
  • Du har redan lagt till den här sidan.

Skicka pins

Ett enkelt sätt att spara dina pins är att maila dem

Du har nu skickat dina pins!

Något gick fel. Kontrollera e-postadressen och prova igen.

Dela sidan