Svenskt Trä Logo

3.4.2 Ortotropt skal med direkt bestämning av styvhetsmatris

Publicerad 2017-07-07

Baserad på Timoshenkos balkteori med skjuvkorrektionsfaktor enligt avsnitt 3.3.1, kan styvhetsvärdena av skjuvböjbara skalelement bestämmas oberoende av det statiska systemet med tvärsnittsvärden i båda riktningarna, enligt Reissner-Mindlin.

Hållfasthetslära för skalelement av KL-trä
För ortotropa skalelement kan följande styvhetsmatris ställas upp:

\({C_\rm {KLT}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{D_{11}}}&{{D_{12}}}&0&0&0&0&0&0\\ {{D_{21}}}&{{D_{22}}}&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&{{D_{33}}}&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&{{D_{44}}}&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&{{D_{55}}}&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&{{D_{66}}}&{{D_{67}}}&0\\ 0&0&0&0&0&{{D_{76}}}&{{D_{77}}}&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&{{D_{88}}} \end{array}} \right]\)

där:

[D11D33] beskriver böj- och vridstyvhetsegenskaper (KL-träplatta)
[D44D55] beskriver skjuvstyvhetsegenskaper (KL-träplatta)
[D66D88] beskriver skivstyvhetsegenskaper (KL-träskiva)

 

 

 

Böj- och vridstyvhetsegenskaper (KL-träplatta) räknas ofta i kN/m:

\({D_{11}} = \frac{{{E_\rm {0,mean}} \cdot {I_{\rm x,{\rm{net}}}}}}{{1 - {\nu _{{\rm{xy}}}} \cdot {\nu _{{\rm{yx}}}}}}\quad \rm med\quad {\nu _{{\rm{xy}}}} = {\nu _{{\rm{yx}}}} = 0\)

blir ekvationen:

3.90  \({D_{11}} = {E_\rm {0,mean}} \cdot {I_{\rm x,{\rm{net}}}}\)

 

\({D_{22}} = \frac{{{E_\rm {0,mean}} \cdot {I_{\rm y,{\rm{net}}}}}}{{1 - {\nu _{{\rm{xy}}}} \cdot {\nu _{{\rm{yx}}}}}}\quad \rm med\quad {\nu _{{\rm{xy}}}} = {\nu _{{\rm{yx}}}} = 0\)

blir ekvationen:

3.91  \({D_{22}} = {E_\rm {0,mean}} \cdot {I_{\rm y,{\rm{net}}}}\)

 

\({D_{33}} = {k_{{\rm{vrid}}}} \cdot {G_\rm {0,mean}}\frac{{b \cdot t_{{\mathop{\rm KLT}\nolimits} }^3}}{{12}}\quad {\rm med}\quad {k_{{\rm{vrid}}}} = 0,65\quad {\rm och}\quad b{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}{\mathop{\rm \,m}\nolimits} \)

blir ekvationen:

3.92  \({D_{33}} = 0,65 \cdot {G_\rm {0,mean}}\frac{{t_{{\mathop{\rm KLT}\nolimits} }^3}}{{12}} \cdot 1\;\)

 

\({D_{12}} = {D_{21}} = \sqrt {{\nu _{{\rm{xy}}}} \cdot {\nu _{{\rm{yx}}}} \cdot {D_{11}} \cdot {D_{22}}} \quad \rm med\quad {\nu _{{\rm{xy}}}} = {\nu _{{\rm{yx}}}} = 0\)

blir ekvationen:

3.93  \({D_{12}} = {D_{21}} = 0\)

 

Observera:

\({k_{{\rm{vrid}}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0,65{\rm{\;\;för\;KL{\text -}trä\;med\;spalter\;eller\;sprickor.}}}\\ {0,8{\rm{\;\;\;\;för\;KL{\text -}trä\;utan\;spalter\;eller\;sprickor.}}} \end{array}} \right.\)


Skjuvstyvhetsegenskaper (KL-träplatta) räknas ofta i kN/m:

3.94  \({D_{44}} = {\kappa _\rm x} \cdot {G_\rm {0,mean}} \cdot {A_\rm {x,net}}\)

3.95  \({D_{55}} = {\kappa _\rm y} \cdot {G_\rm {0,mean}} \cdot {A_\rm {y,net}}\)

För beräkning och värden på skjuvkorrektionsfaktorerna κx och κy, se avsnitt 3.3.


Skivstyvhetsegenskaper (KL-träskiva) räknas ofta i kN/m:

3.96  \({D_{66}} = {E_\rm {0,mean}} \cdot {A_\rm {x,{\rm{net}}}}\)

3.97  \({D_{77}} = {E_\rm {0,mean}} \cdot {A_\rm {y,{\rm{net}}}}\)

3.98  \({D_{88}} = {G_{{\mathop{\rm S}\nolimits} ,\rm mean}} \cdot {A_\rm {x,{\rm{brutto}}}} = 0,75 \cdot {G_\rm {0,mean}} \cdot {A_\rm {x,{\rm{brutto}}}}\)

GS,mean är skjuvmodulen för hela KL-träelementets tvärsnitt, enligt Silly, 2010

\({D_{67}} = \nu \cdot {D_{66}}\)

och representerar effekten av tvärs utvidgning över längsgående normalkraft, vanligtvis antas ν = 0 och därmed D67 = 0 och på samma sätt D76 = 0.

Verifiering av materialets hållfasthet
Relationen mellan krafter och förskjutningar definieras i matrisform enligt ekvation 3.99 och används med fördel i FEM-beräkningsprogram:

3.99  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{m_x}}\\ {{m_y}} \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m_{{\mathop{\rm xy}\nolimits} }}}\\ {{n_{{\mathop{\rm xz}\nolimits} }}} \end{array}} \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_{{\mathop{\rm yz}\nolimits} }}}\\ {{n_{\mathop{\rm x}\nolimits} }} \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_{\mathop{\rm y}\nolimits} }}\\ {{n_{{\mathop{\rm xy}\nolimits} }}} \end{array}} \end{array}} \end{array}} \right\} = {C_{{\mathop{\rm KLT}\nolimits} }} \cdot \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{K_{\rm{x}}} = \frac{{\partial {\phi _{\mathop{\rm y}\nolimits} }}}{{\partial x}}}\\ {{K_{\rm{y}}} = - \frac{{\partial {\phi _{\mathop{\rm x}\nolimits} }}}{{\partial y}}} \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {{K_{{\rm{xy}}}} = \frac{{\partial {\phi _{\mathop{\rm y}\nolimits} }}}{{\partial y}} - \frac{{\partial {\phi _{\mathop{\rm x}\nolimits} }}}{{\partial x}}}\\ {{\gamma _{{\mathop{\rm xz}\nolimits} }} = \frac{{\partial {u_{\mathop{\rm z}\nolimits} }}}{{\partial x}} + {\phi _y}} \end{array}} \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{\gamma _{{\mathop{\rm yz}\nolimits} }} = \frac{{\partial {u_{\mathop{\rm z}\nolimits} }}}{{\partial y}} - {\phi _x}}\\ {{\varepsilon _{\mathop{\rm x}\nolimits} } = \frac{{\partial {u_{\mathop{\rm x}\nolimits} }}}{{\partial x}}} \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varepsilon _{\mathop{\rm y}\nolimits} } = \frac{{\partial {u_{\mathop{\rm y}\nolimits} }}}{{\partial y}}}\\ {{\gamma _{{\mathop{\rm xy}\nolimits} }} = \frac{{\partial {u_{\mathop{\rm x}\nolimits} }}}{{\partial y}} - \frac{{\partial {u_{\mathop{\rm y}\nolimits} }}}{{\partial x}}} \end{array}} \end{array}} \end{array}} \right\}\)

φ och u representerar rotation respektive förskjutning av elementytans tyngdpunktscentrum i riktningar enligt figur 3.28.

Utifrån ekvation 3.99 erhålls både krafter och deformationer och utifrån detta kan spänningar i materialet beräknas.

Montage av Portvakten, Växjö
Montage av Portvakten, Växjö.


Böjmoment kring x-axeln och y-axeln

\({m_{{\mathop{\rm x}\nolimits} ,\rm E,d}} \le {m_\rm {x,R,d}}\)

mx,E,d är dimensionerande böjmoment i kNm/m.
mx,R,d är dimensionerande bärförmåga för böjmoment i kNm/m och beräknas:

 

\({m_\rm {x,R,d}} = {W_\rm {x,{\rm{net}}}} \cdot {f_\rm {m,xlay,d}}\)

 

\({m_\rm {y,E,d}} \le {m_\rm {y,R,d}}\)

my,E,d är dimensionerande böjmoment i kNm/m.
my,R,d är dimensionerande bärförmåga för böjmoment i kNm/m och beräknas:

 

\({m_\rm {y,R,d}} = {W_\rm {y,{\rm{net}}}} \cdot {f_\rm {m,ylay,d}}\)

 


Tvärkraft i xz-planet och yz-planet

\({n_{{\mathop{\rm xz}\nolimits} ,\rm E,d}} \le {n_\rm {xz,R,d}}\)

nxz,E,d är dimensionerande tvärkraft i kN/m.
nxz,R,d är dimensionerande bärförmåga för tvärkraft i kN/m och beräknas:

 

\({n_\rm {xz,R,d}} = \frac{{{I_\rm {x,{\rm{net}}}} \cdot {\rm{1\,m}}}}{{{S_{{\rm{R}},x,{\rm{net}}}}}}{f_\rm {v,9090,ylay,d}}\)

 

\({n_{{\mathop{\rm yz}\nolimits} ,\rm E,d}} \le {n_\rm {yz,R,d}}\)

nyz,E,d är dimensionerande tvärkraft i kN/m.
nyz,R,d är dimensionerande bärförmåga för tvärkraft i kN/m och beräknas:

 

\({n_\rm {yz,R,d}} = \frac{{{I_{y,{\rm{net}}}} \cdot {\rm{1\,m}}}}{{{S_{{\rm{R}},\rm y,{\rm{net}}}}}}{f_\rm {v,9090,xlay,d}}\)

 


Vridmoment i xy-planet eller yx-planet

\({m_\rm {xy,E,d}} \le {m_\rm {xy,R,d}}\)

mxy,E,d är dimensionerande vridmoment i kNm/m.
mxy,R,d är dimensionerande bärförmåga för vridmoment i kNm/m och beräknas:

 

\({m_\rm {xy,R,d}} = {W_\rm {tor,x,{\rm{KLT}}}} \cdot {f_\rm {tor,d}}\)

 

Observera: mxy = myx om bx = by


Normalkraft i x-riktning och y-riktning

\({n_{{\mathop{\rm x}\nolimits} ,\rm E,d}} \le {n_\rm {x,R,d}}\)

nx,E,d är dimensionerande normalkraft i kN/m.
nx,R,d är dimensionerande bärförmåga för normalkraft i kN/m och beräknas:

 

\({n_\rm {x,R,d}} = {A_{\rm x,{\rm{net}}}} \cdot {f_\rm {t,xlay,d}}\)

för dragspänning och

\({n_\rm {x,R,d}} = {A_{\rm x,{\rm{net}}}} \cdot {f_\rm {c,xlay,d}}\)

för tryckspänning.

 

\({n_{{\mathop{\rm y}\nolimits} ,\rm E,d}} \le {n_{{\mathop{\rm y}\nolimits} ,\rm R,d}}\)

ny,E,d är dimensionerande normalkraft i kN/m.
ny,R,d är dimensionerande bärförmåga för normalkraft i kN/m och beräknas:

 

\({n_\rm {y,R,d}} = {A_{\rm y,{\rm{net}}}} \cdot {f_\rm {t,ylay,d}}\)

för dragspänning och

\({n_\rm {y,R,d}} = {A_{\rm y,{\rm{net}}}} \cdot {f_\rm {c,ylay,d}}\)

för tryckspänning.

 


Tvärkraft i xy-planet eller yx-planet

\({n_{{\mathop{\rm xy}\nolimits} ,\rm E,d}} \le {n_\rm {xy,R,d}}\)

nxy,E,d är dimensionerande tvärkraft i KL-träskivans plan i kN/m.
nxy,R,d är dimensionerande bärförmåga för tvärkraft i kN/m.

 

\({n_\rm {xy}} = {n_\rm {yx}}\)

Figur 3.28
Figur 3.28 Definition av huvudaxlar och huvudriktningar.

TräGuiden är den digitala handboken för trä och träbyggande och innehåller information om materialet trä samt instruktioner för byggande med trä.

På din mobil fungerar TräGuiden bäst i stående läge.Ok

Hantera dina pins

Hantera pins fungerar bäst om du inte är i privat/inkognitoläge. OBS! Dina pins sparas i datorns lokala minne.
Åtgärder som innebär raderande av kakor på datorn kan ofta även medföra att det lokala minnet rensas med följden att dina sparade pins försvinner.

Du har inga sparade pins

Hantera pins fungerar bäst om du inte är i privat/inkognitoläge. OBS! Dina pins sparas i datorns lokala minne.
Åtgärder som innebär raderande av kakor på datorn kan ofta även medföra att det lokala minnet rensas med följden att dina sparade pins försvinner.

pin

Du vet väl att du kan spara sidor till senare. Samla här pins för de sidor du besöker ofta och enkelt vill kunna återkomma till.

  • Lägg till
  • Du har redan lagt till den här sidan.

Skicka pins

Ett enkelt sätt att spara dina pins är att maila dem

Du har nu skickat dina pins!

Något gick fel. Kontrollera e-postadressen och prova igen.

Dela sidan