Bild 1 och Bild 2.
1. Förutsättningar
l = 2 700 mm
Hållfasthetsklass: C14
Klimatklass: 2
Lastvaraktighetsklass: Medellång
Säkerhetsklass: 2 (γd=0,91)
Egentyngd gk = 0,3 kN/m2
Snölast: Sk = 2,0 kN/m2
µ1 = 0,8 + 15 / 20 · 0,3 = 1,025 (sadeltak, taklutning 15°)
Räfflad trådspik 75–3,1 mm
Belastad area: 2,88 m2 (1,2 x 2,4m)
Stolpe 2 x (45x95 mm2)
γm = 1,30
fc,0,k = 16 MPa
E0,mean = 7000 MPa
ρm = 350 kg/m3
2. Preliminär dimensionering
Lastvärden
Dimensionerande lasteffekt
Fc,0,d = (γd · 0,89 · 1,35 · gk + γd · 1,5 · µ1 · Sk) · A
Fc,0,d = (0,91 · 0,89 · 1,35 · 0,3 + 0,91 · 1,5 · 1,025 · 2,0) · 2,316 = 7,24 kN
\(\displaystyle \sigma_{\text{c,0,d}} = \frac{F_{\text{c,0,d}}}{A_{\text{tot}}} = \frac{7,24 \cdot 10^3}{90 \cdot 95} = 0,847 \: \text{MPa}\)
Inverkan av transversallast försummas. Stolpen utformas som en spikad stolpe. Antag att den byggs upp av två virkesdelar med tvärsnittsmått 45 mm x 95 mm. Antag att stolpen kan beaktas som en pelare ledad i båda ändar.
Utknäckning i z-led ger den lägsta bärförmågan. Om virkesdelarna kunde samverka fullständigt kan slankhetstalet tecknas:
\(\displaystyle \lambda_\text{z} = \frac{l \cdot \sqrt{12}}{h} = \frac{2700 \cdot \sqrt{12}}{90} = 104\)
Bärförmågan begränsas av att delarna samverkar ofullständigt. I den preliminära beräkningen beaktas detta genom att slankhetstalet λz omräknas till ett effektivt slankhetstal med hjälp av omräkningsfaktorn k.
k = 1.5
λz,ef = k · λz = 1,5 · 104 = 156
Vilket ger:
\(\displaystyle \lambda_{\text{rel,z}} = \frac{\lambda_{\text{z,ef}}}{\pi} \cdot \sqrt{\frac{f_{\text{c,0,k}}}{E_{\text{0,05}}}} = \frac{156}{\pi} \cdot \sqrt{\frac{16}{4700}} = 2,90\)
\(\beta_\text{c}=0,2\) för massivt trä ger
\(\displaystyle k_\text{z} = 0,5 \cdot \left(1 + \beta_\text{c} \cdot (\lambda_{\text{rel,z}} - 0,3)+{\lambda_{\text{rel,z}}}^2 \right) = 0,5\cdot\left(1+0,2\cdot(2,90-0,3)+2,90^2\right) = 4,95 \)
Knäckfaktor
\(\displaystyle k_{\text{c,z}}=\frac{1}{k_\text{z} + \sqrt{{k_\text{z}}^2-{\lambda_{\text{rel,z}}}^2}} = \frac{1}{4,96 + \sqrt{{4,96}^2-{2,90}^2}} =0,111\)
Dimensionerande värde på tryckhållfasthet blir med
kmod = 0,80 (C14, lastvaraktighetsklass medellång, klimatklass 2)
fc,0,k = 16 MPa (C14)
γm = 1,3
\(\displaystyle f_{\text{c,0,d}} = \frac{k_{\text{mod}} \cdot f_{\text{c,0,k}}}{\gamma_\text{m}} = \frac{0,80 \cdot 16}{1,3}=9,85 \: \text{MPa}\)
Med hänsyn till knäckning: 0,111 · 9,85 = 1,09 MPa > 0,847 MPa
Stolpen är OK!
I denna preliminära dimensionering tillämpades en approximativ metod, för att beräkna bärförmågan, med hänsyn till ofullständig samverkan.
3. Kontroll av brottgränstillståndet
Bärförmåga - normalkraft
\(\displaystyle \lambda_{\text{ef}}= l \cdot \sqrt{\frac{A_{\text{tot}}}{I_{\text{ef}}}}\)
Ief = Effektivt tröghetsmoment med hänsyn tagen till ofullständig samverkan
Atot = Pelarens sammanlagda tvärsnittsarea
\(\displaystyle I_{\text{ef}}=\frac{(EI)_{\text{ef}}}{E_{\text{mean}}}\)
\((EI)_{\text{ef}} = \sum_{i=1}^3 \left(E_\text{i}I_\text{i} + {\gamma_\text{i}E_\text{i}A_\text{i}a_\text{i}}^2 \right)\)
med
\(E_\text{i} = E_{\text{0,mean}}\) ,
\(A_\text{i} = b_\text{i} \cdot h_\text{i}\) ,
\(I_\text{i} = b_\text{i} \cdot \frac{{h_\text{i}}^3}{12}\),
\(\displaystyle \gamma_\text{i} = \left( 1 + \frac{\pi^2 \cdot E_\text{i} \cdot A_\text{i} \cdot s_\text{i}}{K_\text{i} \cdot l^2} \right)^{-1}\)
Ett förbands förskjutningsmodul i brottgränstillstånd, Ku, bör väljas till (se EC5 tabell 7.1):
\(\displaystyle K_\text{u} = \frac{2}{3} \cdot K_{\text{ser}}\) , där Kser som är förskjutningsmodul för spik (utan förborrning) är \(K_{\text{ser}}= {\rho_\text{m}}^{1,5} \cdot \frac{d^{0,8}}{30} = 350^{1,5} \cdot \frac{3,1^{0,8}}{30} = 540 \: \text{N/mm}\)
\(\displaystyle K_u= \frac{2}{3} \cdot 540 = 360 \: \text{N/mm}\)
Spikarna slås parvis med avståndet 100 mm mellan paren. Det effektiva avståndet blir s (spikavståndet längs stolpen) = 50 mm.
\(\displaystyle \gamma_\text{1}=\gamma_3=\left( 1 + \frac{\pi^2 \cdot 7000 \cdot 10^6 \cdot 0,095 \cdot 0,045 \cdot 0,050}{360 \cdot 10^3 \cdot 2,7^2} \right)^{-1} = 6,643^{-1} = 0,151\)
(Se EC5 (B5))
Virkesdelarna (1 och 3) är lika (95x45), ingen mellanliggande del (2) ingår, vilket ger
\(\displaystyle (EI)_{\text{ef}} = \sum_{i=1}^3 (E_\text{i}I_\text{i} + \gamma_\text{i}E_\text{i}A_\text{i}{a_\text{i}}^2) = 2 \cdot (7000 \cdot 10^6 \cdot 0,095 \cdot \frac{0,045^3}{12} + 0,151 \cdot 7000 \cdot 10^6 \cdot 0,095 \cdot 0,045 \cdot 0,0225^2) = 14674 \: \text{Nm}^2 \)
\(\displaystyle I_{\text{ef}}=\frac{14674}{7000 \cdot 10^6}=2,10 \cdot 10^{-6} \: \text{m}^4\)
\(\displaystyle \lambda_{\text{ef}}=2,7 \cdot \sqrt{\frac{0,090 \cdot 0,095}{2,10 \cdot 10^{-6}}} = 172\)
\(\displaystyle \lambda_{\text{rel,z}}=\frac{\lambda_{\text{ef}}}{\pi} \cdot \sqrt{\frac{f_{\text{c,0,k}}}{E_{\text{0,05}}}} = \frac{172}{\pi} \cdot \sqrt{\frac{16}{4700}} =3,19\)
\(\displaystyle \beta_\text{c} = 0,2 \) för massivt trä ger
\(\displaystyle k_\text{z} = 0,5 \cdot \left( 1 + \beta_\text{c} \cdot ( \lambda_{\text{rel,z}} - 0,3) + {\lambda_{\text{rel,z}}}^2 \right)= 0,5 \cdot \left( 1 + 0,2 \cdot (3,19-0,3)+3,19^2\right)=5,87\)
Knäckfaktor
\(\displaystyle k_{\text{c,z}}=\frac{1}{k_\text{z} + \sqrt{{k_\text{z}}^2-{\lambda_{\text{rel,z}}}^2}} = \frac{1}{5,87 + \sqrt{5,87^2 - 3,19^2}}=0,093\)
Dimensionerande värde på tryckhållfasthet med hänsyn till knäckning blir:
0,093 · 9,85 = 0,92 MPa > 0,847 MPa
Stolpen är OK!
Bärförmåga - spikförband
Kraften på en enskild förbindare sätts till
\(\displaystyle F_\text{i}=\frac{\gamma_\text{i} \cdot E_\text{i} \cdot A_\text{i} \cdot a_\text{i} \cdot s_\text{i}}{(EI)_{\text{ef}}} \cdot V_\text{d}\)
Om λef > 60 gäller:
\(\displaystyle V_\text{d}=\frac{F_{\text{c,d}}}{60 \cdot k_\text{c}}=\frac{7,23}{60 \cdot 0,093}=1,3 \:\text{kN}\)
\(\displaystyle F_\text{1}=\frac{0,151 \cdot 7000 \cdot 10^6 \cdot 0,095 \cdot 0,045 \cdot 0,0225 \cdot 0,050}{14674} \cdot 1,30 \cdot 10^3 = 450 \: \text{N}\)
Karakteristisk bärförmåga för enskärigt spikförband trä mot trä, med ρk = 290 kg/m3 (C14), fu = 600 N/mm2 (spik):
Fv,Rk = 0,73 kN
Dimensionerande värde på bärförmåga blir med
kmod = 0,80
γm = 1,3
\(\displaystyle F_{\text{v,Rd}}=\frac{k_{\text{mod}} \cdot F_{\text{v,Rk}}}{\gamma_\text{m}}=\frac{0,80 \cdot 730}{1,3} = 506 \:\text{N per spik}\)
Fv,Rd > F1 = OK!
4. Kontroll av bruksgränstillståndet
Kontroll av bruksgränstillståndet är inte nödvändigt eftersom stolpen endast är belastad med normalkraft.
