Takås

Bild 1.

1. Förutsättningar

Taklutning: α = 14° < 30°

Snölastens karakteristiska lastvärde: s_k = 2,5 kN/m²

Snölastens formfaktor: µ = 0,8 (vi förutsätter här pulpettak utan möjlighet till framtida ändring till sadeltak), Lastvaraktighetsklass medel (M)

Egentyngd av takbeläggning och takåsar: g_k = 0,40 kN/m²

Säkerhetsklass: 2 (γ_d = 0,91)

Klimatklass: 2

Centrumavstånd mellan takbalkar: s_T = 7 200 mm

Centrumavstånd mellan takåsar: s_Å = 2 400 mm (i takets lutning)

2. Preliminär dimensionering

Preliminär dimension för takåsarna bestäms enligt Limträhandbok. För en rak kontinuerlig balk upplagd över flera stöd rekommenderas en minsta höjd av L/20 = 7 200/20 = 360 mm, bredden väljs till 78 mm. Som preliminär dimension för takåsarna av limträ väljs dimensionen 90x360 mm² i kvalitet GL30c.

3. Kontroll av brottgränstillståndet

Lasteffekter

Säkerheten mot brott kontrolleras för lastfallet med snö och egentyngd då snö är huvudlast Dimensionerande lastvärde blir

\(\bar{q}_\text{d}=0,91 \cdot 0,89 \cdot 1,35 \cdot g_\text{k} + \gamma_\text{d} \cdot 1,5
\cdot \mu \cdot s_\text{k} = 0,91 \cdot 0,89 \cdot 1,35 \cdot 0,40 + 0,91
\cdot1,5 \cdot 0,8 \cdot 2,5 = 3,16 \:\text{kN/m}^2\)

Varje takås kommer att belastas med linjelasten

\(q_\text{d} = \bar{q}_\text{d} \cdot s_{\text{Å}}= 3,16\cdot 2,4\cdot cos(14°)  = 7,37 \:\text{kN/m}\)

Då takets lutning överstiger 1:10 måste, enligt Limträhandbok, sned böjning för takåsarna beaktas. Linjelasten på takåsen komposantuppdelas i två linjelaster verkande i x-led och y-led.

\({q_\text{d}}^y=q_\text{d} \cdot \sin\alpha = 7,37 \cdot \sin14^\circ = 1,78 \:\text{kN/m}\)

\({q_\text{d}}^z=q_\text{d} \cdot \cos\alpha = 7,37 \cdot \cos14^\circ = 7,16 \:\text{kN/m}\)

Dimensionerande moment i ytterfack för ett omlottskarvat åssystem kan beräknas enligt Limträhandbok.

\(M_{\text{y,d}} = 0,080 \cdot {q_\text{d}}^z \cdot {s_\text{T}}^2 = 0,080 \cdot 7,16 \cdot
{7,2}^2 = 29,7 \:\text{kNm}\)

\(M_{\text{z,d}} = 0,080 \cdot {q_\text{d}}^z \cdot {s_\text{T}}^2 = 0,080 \cdot 1,78 \cdot
{7,2}^2 = 7,40 \:\text{kNm}\)

I innerfack för en kontinuerligt omlottskarvad ås gäller enligt Limträhandbok.

\(M_{\text{y,d}} = 0,046 \cdot {q_\text{d}}^z \cdot {s_\text{T}}^2 = 0,046 \cdot 7,16 \cdot {7,2}^2
= 17,1 \:\text{kNm}\)

\(M_{\text{z,d}} = 0,046 \cdot {q_\text{d}}^z \cdot {s_\text{T}}^2 = 0,046 \cdot 1,78 \cdot {7,2}^2
= 4,3 \:\text{kNm}\)

I detta fall dimensioneras hela åsen för momentet i ytterfacket. Alternativt kan systemet anordnas med olika dimensioner i ytter- och innerfack, oftast anordnas då åsarna med samma höjd i alla fack. redden i ytterfacken måste då ökas för att uppta det större momentet.

\( \sigma_{\text{m,y,d}} = \displaystyle \frac{M_{\text{y,d}}}{W} = \frac{29,7 \cdot 10^6 \cdot 6}{90 \cdot 360^2} = 15,3 \:
\text{MPa} \)

\(\sigma_{\text{m,z,d}} = \displaystyle \frac{M_{\text{z,d}}}{W} = \frac{7,4 \cdot 10^6 \cdot 6}{360 \cdot 90^2} = 15,3 \:
\text{MPa}\)

Bärförmåga

Takbeläggningen antas i detta fall vara nog styv för att avstyva takåsen så att vippning kan förhindras, k_crit = 1,0. Den dimensionerande hållfastheten i böjning beräknas för materialet Limträ (GL30c), klimatklass 2 och lastvaraktighetsklass medel. Eftersom tvärsnittets höjd är < 600 mm får man även öka bärförmågan i böjning på grund av storlekseffekter.

Dimensionerande värde på böjhållfastheten beräknas.

f_m,k = 30,0 MPa (CE GL30c)

k_mod = 0,8 (lastvaraktighet medel, klimatklass 2)

γ_m = 1,25 (limträ)

\(\displaystyle {\kappa_\text{h}}^y = min \begin{cases} \left( \displaystyle \frac{600}{h} \right)^{0,1} = \displaystyle \left(\frac{600}
{360} \right)^{0,1} = 1,05 \\ 1,1 \end{cases}\) (Höjd = 360 mm)

\(\displaystyle {\kappa_\text{h}}^z = min \begin{cases} \left( \displaystyle \frac{600}{h} \right)^{0,1} = \displaystyle \left(\frac{600}{90}
\right)^{0,1} = 1,1 \\ 1,1 \end{cases}\) (Höjd = 90 mm)

Dimensionerande bärförmåga i böjning i respektive riktning kan nu beräknas som

\(\displaystyle f_{\text{m,y,d}} = {\kappa_\text{h}}^y \cdot \frac{k_{\text{mod}} \cdot f_{\text{m,k}}}{\gamma_\text{m}} = 1,05 \cdot
\frac{0,8 \cdot 30,0}{1,25} = 20,2 \:\text{MPa}\)

\(\displaystyle f_{\text{m,z,d}} = {\kappa_\text{h}}^x \cdot \frac{k_{\text{mod}} \cdot f_{\text{m,k}}}{\gamma_\text{m}} = 1,1 \cdot
\frac{0,8 \cdot 30,0}{1,25} = 21,1 \:\text{MPa}\)

Säkerheten mot brott kontrolleras med dimensioneringsvillkoren

\(\displaystyle \left(\frac{\sigma_{\text{m,y,d}}}{f_{\text{m,y,d}}}\right) + 0,7 \cdot
\left(\frac{\sigma_{\text{m,z,d}}}{f_{\text{m,z,d}}}\right) \leq 1,0\)

\(\displaystyle 0,7 \cdot \left(\frac{\sigma_{\text{m,y,d}}}{f_{\text{m,y,d}}}\right) +
\left(\frac{\sigma_{\text{m,z,d}}}{f_{\text{m,z,d}}}\right) \leq 1,0\)

Med insatta värden fås

\(\displaystyle \left(\frac{15,3}{20,2}\right) + 0,7 \cdot \left(\frac{15,2}{21,1}\right) = 1,26 >
1,0\)

\(\displaystyle 0,7 \cdot \left(\frac{15,3}{20,2}\right) + \left(\frac{15,2}{21,1}\right) = 1,25 >
1,0\)

Villkoret för säkerhet är ej uppfyllt!

För att minska den last som påförs i åsen veka riktning (z-led) kan dragband anordnas som därvid fungerar som ett upplag.

Bild 2.

Om vi anordnar ett dragband mitt i facket kommer det maximala momentet i z-led att reduceras till

\(\displaystyle M_{\text{z,d}}=0,08 \cdot 1,78 \cdot \left(\frac{7,2}{2} \right)^2 = 1,85 \:\text{kNm} \)

\(\displaystyle \sigma_{\text{m,z,d}}= \frac{M_{\text{z,d}}}{W}= \frac{1,89 \cdot 10^6 6}{360 \cdot 90^2} =3,81 \:\text{kNm}\)

Dimensioneringsvillkoren ger nu

\(\displaystyle \left( \frac{15,3}{20,2} \right) + 0,7 \cdot\left(\frac{3,81}{21,1} \right) = 0,88 < 1,0\)

\(\displaystyle 0,7 \cdot \left( \frac{15,3}{20,2} \right) + \left(\frac{3,81}{21,1} \right) = 0,71 < 1,0\)

Villkoret för säkerhet är nu uppfyllt!

Kontroll av innerfacken visar att dimensionen 78x360 GL28sc klarar sig utan dragbandsupphängning.

Observera att dragbandet måste dimensioneras för ett krafttillskott från samtliga åsar, i detta fall skulle vi erhålla följande kraft i dragbandet

\(\displaystyle N_{\text{Sd}} = {q_\text{d}}^z \cdot \frac{L}{2} \cdot n \)

där n är antalet åsar som hängs upp i dragbandet. I detta fall belastar totalt 5 åsar dragbandet, här räknas med att nockåsen och kantåsen endast påverkas av en halv belastningsyta. För att undvika att nockåsen utsätts för en tillskottskraft i sin veka riktning måste en noggrann infästning av dragbandet utföras. Dragbandet ska överföra krafterna från åsarna, genom dragbandet, till takbalken, dragbandet måste därför dras förbi nocken och fästas i takbalken.

Kontroll av skjuvning

Dimensionerande tvärkraft uppträder vid takåsarnas upplag mot takbalkarna. Största tvärkraft för en kontinuerlig ås upplagd på flera stöd kan bestämmas enligt lämplig formelsamling.

\(\displaystyle V_{\text{zd}} = 0,6053 \cdot {q_\text{d}}^z \cdot s_\text{T} = 0,6053 \cdot 7,16 \cdot 7,2 = 31,2 \:\text{kN} \)

Skjuvspänning beräknas

\(\displaystyle \tau_\text{d} = \frac{1,5 \cdot V_{\text{zd}}}{A} = \frac{1,5 \cdot 31,2 \cdot 10^3}{90 \cdot 360}=1,44 \:\text{MPa}\)

Dimensionerande värde på skjuvhållfastheten blir med

f_v,k = 3,5 MPa (GL30c))

k_mod = 0,8 (lastvaraktighet medel, klimatklass 2)

γ_m = 1,25 (limträ)

Enligt allmänt råd i EKS 11 (BFS 2019:1), bör k_cr enligt nedan användas för limträ som inte är exponerat för nederbörd och solstrålning.

\(\displaystyle k_{\text{cr}} = min \begin{cases} \displaystyle \frac{3,0}{f_{\text{v,k}}} \\ 1,0 \end{cases} \)

\(\displaystyle \frac{3,0}{f_{\text{v,k}}} = \frac{3,0}{3,5} = 0,857 < 1,0 \:\text{alltså}\: k_{\text{cr}}=0,857 \)

\(\displaystyle f_{\text{v,d}}=\frac{k_{\text{cr}} \cdot k_{\text{mod}} \cdot f_{\text{v,k}}}{\gamma_\text{m}} = \frac{0,857 \cdot 0,8 \cdot 3,5}{1,25}
= 1,92\:\text{MPa} > 1,44 \:\text{MPa} \)

Dimensioneringsvärdet \( \tau_d < f_{\text{v,d}} \) är uppfyllt!

4. Kontroll av bruksgränstillståndet

Detta kan ske om så erfordras, se exempel Jämnhög rak balk av fanerträ.