Takås

Bild 1.

1. Förutsättningar

Taklutning: α = 14° < 30°

Snölastens karakteristiska lastvärde: s_k = 2,5 kN/m²

Snölastens formfaktor: µ = 0,8, Lastvaraktighetsklass medel (M)

Egentyngd av takbeläggning och takåsar: g_k = 0,40 kN/m²

Säkerhetsklass: 2 (γ_d = 0,91)

Klimatklass: 2

Centrumavstånd mellan takbalkar: s_T = 7 200 mm

Centrumavstånd mellan takåsar: s_Å = 2 400 mm

2. Preliminär dimensionering

Preliminär dimension för takåsarna bestäms enligt Limträhandboken. För en rak kontinuerlig balk upplagd över flera stöd rekommenderas en minsta höjd av L/20 = 7 200/20 = 360 mm, bredden väljs till 78 mm. Som preliminär dimension för takåsarna av limträ väljs dimensionen 90x360 mm² i kvalitet CE L40c.

3. Kontroll av brottgränstillståndet

Lasteffekter

Säkerheten mot brott kontrolleras för lastfallet med snö och egentyngd då snö är huvudlast Dimensionerande lastvärde blir

\(\bar{q}_d=0,91 \cdot 0,89 \cdot 1,35 \cdot g_k + \gamma_d \cdot 1,5
\cdot \mu \cdot s_k = 0,91 \cdot 0,89 \cdot 1,35 \cdot 0,40 + 0,91
\cdot1,5 \cdot 0,8 \cdot 2,5 = 3,16 \:\text{kN/m}^2\)

Varje takås kommer att belastas med linjelasten

^{\(q_d = \bar{q}_d \cdot s_{\text{Å}}= 3,16\cdot 2,4 = 7,58 \:\text{kN/m}\)}

Då takets lutning överstiger 1:10 måste, enligt Limträhandboken, sned böjning för takåsarna beaktas. Linjelasten på takåsen komposantuppdelas i två linjelaster verkande i x-led och y-led.

\({q_d}^y=q_d \cdot \sin\alpha = 7,58 \cdot \sin14^\circ = 1,83 \:\text{kN/m}\)

\({q_d}^z=q_d \cdot \cos\alpha = 7,58 \cdot \cos14^\circ = 7,35 \:\text{kN/m}\)

Dimensionerande moment i ytterfack för ett omlottskarvat åssystem kan beräknas enligt Limträhandboken.

\(M_{y,d} = 0,080 \cdot {q_d}^z \cdot {s_\text{T}}^2 = 0,080 \cdot 7,35 \cdot
{7,2}^2 = 30,5 \:\text{kNm}\)

\(M_{z,d} = 0,080 \cdot {q_d}^z \cdot {s_\text{T}}^2 = 0,080 \cdot 1,83 \cdot
{7,2}^2 = 7,6 \:\text{kNm}\)

I innerfack för en kontinuerligt omlottskarvad ås gäller enligt Limträhandboken

\(M_{y,d} = 0,046 \cdot {q_d}^z \cdot {s_\text{T}}^2 = 0,046 \cdot 7,40 \cdot {7,2}^2
= 17,5 \:\text{kNm}\)

\(M_{z,d} = 0,046 \cdot {q_d}^z \cdot {s_\text{T}}^2 = 0,046 \cdot 1,83 \cdot {7,2}^2
= 4,4 \:\text{kNm}\)

I detta fall dimensioneras hela åsen för momentet i ytterfacket. Alternativt kan systemet anordnas med olika dimensioner i ytter- och innerfack, oftast anordnas då åsarna med samma höjd i alla fack. redden i ytterfacken måste då ökas för att uppta det större momentet.

\(\sigma_{m,y,d} = \frac{M_{y,d}}{W} = \frac{30,5 \cdot 10^6 \cdot 6}{90 \cdot 360^2} = 15,7 \:
\text{MPa}\)

\(\sigma_{m,z,d} = \frac{M_{z,d}}{W} = \frac{7,6 \cdot 10^6 \cdot 6}{360 \cdot 90^2} = 15,6 \:
\text{MPa}\)

Bärförmåga

Takbeläggningen antas i detta fall vara nog styv för att avstyva takåsen så att vippning kan förhindras, k_crit = 1,0. Den dimensionerande hållfastheten i böjning beräknas för materialet Limträ (CE L40c), klimatklass 2 och lastvaraktighetsklass medel. Eftersom tvärsnittets höjd är < 600 mm får man även öka bärförmågan i böjning på grund av storlekseffekter.

Dimensionerande värde på böjhållfastheten beräknas.

f_mk = 30,8 MPa (CE L40c)

k_mod = 0,8 (lastvaraktighet medel, klimatklass 2)

γ_m = 1,25 (limträ)

\({\kappa_h}^y = min \begin{cases} \left( \frac{600}{h} \right)^{0,1} = \left(\frac{600}
{360} \right)^{0,1} = 1,05 \\ 1,1 \end{cases}\) (Höjd = 360 mm)

\({\kappa_h}^z = min \begin{cases} \left( \frac{600}{h} \right)^{0,1} = \left(\frac{600}{90}
\right)^{0,1} = 1,21 \\ 1,1 \end{cases}\) (Höjd = 78 mm)

Dimensionerande bärförmåga i böjning i respektive riktning kan nu beräknas som

\(f_{m,y,d} = {\kappa_h}^y \cdot \frac{k_{mod} \cdot f_{mk}}{\gamma_m} = 1,05 \cdot
\frac{0,8 \cdot 30,8}{1,25} = 20,7 \:\text{MPa}\)

\(f_{m,z,d} = {\kappa_h}^x \cdot \frac{k_{mod} \cdot f_{mk}}{\gamma_m} = 1,1 \cdot
\frac{0,8 \cdot 30,8}{1,25} = 21,7 \:\text{MPa}\)

Säkerheten mot brott kontrolleras med dimensioneringsvillkoren

\(\left(\frac{\sigma_{m,y,d}}{f_{m,y,d}}\right) + 0,7 \cdot
\left(\frac{\sigma_{m,z,d}}{f_{m,z,d}}\right) \leq 1,0\)

\(0,7 \cdot \left(\frac{\sigma_{m,y,d}}{f_{m,y,d}}\right) +
\left(\frac{\sigma_{m,z,d}}{f_{m,z,d}}\right) \leq 1,0\)

Med insatta värden fås

\(\left(\frac{15,7}{20,7}\right) + 0,7 \cdot \left(\frac{15,6}{21,7}\right) = 1,26 >
1,0\)

\(0,7 \cdot \left(\frac{15,7}{20,7}\right) + \left(\frac{15,6}{21,7}\right) = 1,25 >
1,0\)

Villkoret för säkerhet är ej uppfyllt!

För att minska den last som påförs i åsen veka riktning (z-led) kan dragband anordnas som därvid fungerar som ett upplag.

Bild 2.

Om vi anordnar ett dragband mitt i facket kommer det maximala momentet i z-led att reduceras till

\(M_{z,d}=0,08 \cdot 1,83 \cdot \left(\frac{7,2}{2} \right)^2 = 1,89 \:\text{kNm} \)

\(\sigma_{m,z,d}= \frac{M_{z,d}}{W}= \frac{1,89 \cdot 10^6 6}{360 \cdot 90^2} =3,89 \:\text{kNm}\)

Dimensioneringsvillkoren ger nu

\(\left( \frac{15,7}{20,7} \right) + 0,7 \cdot\left(\frac{3,89}{21,7} \right) = 0,88 < 1,0\)

\(0,7 \cdot \left( \frac{15,7}{20,7} \right) + \left(\frac{3,89}{21,7} \right) = 0,71 < 1,0\)

Villkoret för säkerhet är nu uppfyllt!

Observera att dragbandet måste dimensioneras för ett krafttillskott från samtliga åsar, i detta fall skulle vi erhålla följande kraft i dragbandet

\( N_{Sd} = {q_d}^z \cdot \frac{L}{2} \cdot n \)

där n är antalet åsar som hängs upp i dragbandet. I detta fall belastar totalt 5 åsar dragbandet, här räknas med att nockåsen och kantåsen endast påverkas av en halv belastningsyta. För att undvika att nockåsen utsätts för en tillskottskraft i sin veka riktning måste en noggrann infästning av dragbandet utföras. Dragbandet ska överföra krafterna från åsarna, genom dragbandet, till takbalken, dragbandet måste därför dras förbi nocken och fästas i takbalken.

Kontroll av skjuvning

Dimensionerande tvärkraft uppträder vid takåsarnas upplag mot takbalkarna. Största tvärkraft för en kontinuerlig ås upplagd på flera stöd kan bestämmas enligt lämplig formelsamling.

\( V_{zd} = 0,6053 \cdot {q_d}^z \cdot s_T = 0,6053 \cdot 7,35 \cdot 7,2 = 32,0 \:\text{kN} \)

Skjuvspänning beräknas

\( \tau_d = \frac{1,5 \cdot V_{zd}}{A} = \frac{1,5 \cdot 32,0 \cdot 10^3}{90 \cdot 360}=1,48 \:\text{MPa}\)

Dimensionerande värde på skjuvhållfastheten blir med

f_vk = 3,5 MPa (CE L40c)

k_mod = 0,8 (lastvaraktighet medel, klimatklass 2)

γ_m = 1,25 (limträ)

Enligt allmänt råd i EKS 9, BFS 2013:10, bör k_cr enligt nedan användas för limträ som inte är exponerat för nederbörd och solstrålning.

\( k_{cr} = min \begin{cases} \frac{3,0}{f_{v,k}} \\ 1,0 \end{cases} \)

\( \frac{3,0}{f_{v,k}} = \frac{3,0}{3,5} = 0,857 < 1,0 \:\text{alltså}\: k_{cr}=0,857 \)

\( f_{v,d}=\frac{k_{cr} \cdot k_{mod} \cdot f_{v,k}}{\gamma_m} = \frac{0,857 \cdot 0,8 \cdot 3,5}{1,25}
= 1,92\:\text{MPa} > 1,48 \:\text{MPa} \)

Dimensioneringsvärdet \( \tau_d < f_{v,d} \) är uppfyllt!

4. Kontroll av bruksgränstillståndet

Detta kan ske om så erfordras, se exempel Jämnhög rak balk av fanerträ.